<< к заданиям
Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2020 год, 1 тур
дата проведения: 23 октября 2020
источник: https://t.me/matolimp/434

Задача 3.

Петя и Вася спорят о своих «успехах» в школьной математике:

  • Петя: «У тебя на пять двоек больше, чем у меня!»
  • Вася: «А у тебя на две пятёрки меньше, чем у меня!»
  • Петя: «Нет, у нас одинаковое количество пятёрок!»
  • Вася: «У нас одинаковое количество четвёрок!»
  • Петя: «Но у меня три четвёрки, а у тебя всего одна!»
  • Вася: «Зато у нас одинаковая сумма всех оценок!»
  • Петя: «Общее количество наших пятёрок нечётно!»
  • Вася: «А у тебя больше десяти троек!»

Известно, что у каждого из мальчиков правдивые и ложные высказывания чередовались через одно: за каждым правдивым высказыванием следовало ложное, а за ложным — правдивое. Также известно, что никаких оценок, кроме двоек, троек, четвёрок и пятёрок, у мальчиков нет.

Какое наибольшее количество троек могло быть у Васи?


Ответ на Задачу 3.

Заметим, что первая фраза Васи и вторая фраза Пети разной истинности. Поэтому есть два варианта:

  • первые фразы Пети и Васи истинны, вторые — ложны, третьи — истинны, четвёртые — ложны
  • первые фразы Пети и Васи ложны, вторые — истинны, третьи — ложны, четвёртые — истинны

Но второй вариант противоречив: высказывания «Нет, у нас одинаковое количество пятёрок!» и «Общее количество наших пятёрок нечётно!» не могут быть одновременно верными.

Поэтому, если у Пети d двоек, t троек и p пятёрок, а у Васи x троек, то:

  • у Васи d+5 двоек
  • у Васи p+2 пятёрок
  • у Пети 3 четвёрки
  • у Васи 1 четвёрка
  • 2d+3t+12+5p=2(d+5)+3⋅x+4+5(p+2)
  • t⩽10

Поэтому 3(t−x)=12, откуда t−x=4.

Поскольку t⩽10, то x=t−4⩽6.

При этом можно привести пример (его построение оставим читателю), в котором у Васи 6 троек, а истинности высказываний соответствуют условию.