Задача 4.
Несколько гусар сидят за круглым столом и играют в карты. Правила простые: первым ходом на стол нужно положить одну карту. Далее каждым ходом нужно положить на стол на одну карту больше, чем положил предыдущий сходивший игрок. Игра заканчивается тогда, когда кто-то не может сделать очередной ход.
Поручик Ржевский заметил, что первый ход сделал корнет Оболенский. Следующий ход сделал правый сосед правого соседа Оболенского. И так продолжалось весьма долго: очередной ход делал правый сосед правого соседа последнего сходившего. По окончанию игры нашлись три соседа, самый левый из которых суммарно выложил 30 карт, средний — 21 карту, а самый правый — 33.
Сколько гусар могло быть за столом? Укажите все варианты.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 7 или 9.
Решение:
Заметим сначала, что количество игроков нечётно: иначе карты были бы положены только половиной игроков (а из трёх соседей хотя бы один положил бы 0 карт). Обозначим это количество буквой $N$.
Пусть первый игрок упомянутой в условии тройки (который суммарно положил 30 карт) своим первым ходом положил $x$ карт. При этом есть две ситуации: третий игрок тройки ещё не ходил или же третий игрок тройки начал игру.
А) Третий игрок тройки начал игру.
Тогда $x=N$ и единственный момент, в который разрыв между первым и третьим игроками составляет 3, таков:
- $30=N+2 N$ (первый игрок сделал 2 хода)
- $33=1+(N+1)+(2 N+1)$ (третий игрок сделал 3 хода)
Но при этом $N=10$, что противоречит нечётности количества игроков.
Б) Третий игрок тройки не начинал игру.
Тогда оба игрока (что первый, что третий) сделали по три хода:
- $30=x+(N+x)+(2 N+x)$
- $33=x+1+(N+x+1)+(2 N+x+1)$
Итого $N+x=10$. Поэтому $N=3$, $N=5$, $N=7$ или $N=9$.
При этом $N$ не может быть меньше $x$, поэтому вариант $N=3$ отпадает сразу. Вариант $N=5$ тоже отпадает: в таком случае третий игрок положил бы своим первым ходом шесть карт.
Остаются варианты $N=7$ и $N=9$. В каждом из них можно привести пример:
Пример для 7 игроков:
- 30 = 3 + 10 + 17
- 21 = 7 + 14
- 33 = 4 + 11 + 18
Пример для 9 игроков:
- 30 = 1 + 10 + 19
- 21 = 6 + 15
- 33 = 2 + 11 + 20
