Задача 8.
Выдающийся счетовод Ефим считает тройку различных целых положительных чисел интересной, если разность какой-то пары этих чисел составляет треть оставшегося и разность какой-то другой пары этих чисел составляет треть оставшегося.
Сколько существует интересных троек с суммой, не превышающей 2020?
Ответ на Задачу 8.
Ответ: 144.
Решение:
Обозначим $x$, $y$, $z$ числа тройки. Пусть $x<y<z$.
У нас есть три способа выбрать две пары: $x y$ и $y z$, $x y$ и $x z$, $x z$ и $y z$.
1) Способ первый
- $3(y-x)=z$
- $3(z-y)=x$
В таком случае $3(z-x)=z+x$, что равносильно $z=2 x$, откуда следует $y=5 x / 3$.
Поскольку у целое, то $x$ должно делиться на 3. Значит, любая такая тройка выглядит как $3 k$, $5 k$, $6 k$. Таких троек столько же, сколько и целых положительных решений неравенства $(3+5+6) k \leqslant 2020$, то есть 144.
2) Способ второй
- $3(y-x)=z$
- $3(z-x)=y$
В таком случае $y=z$, что противоречит $y<z$.
3) Способ третий
- $3(z-x)=y$
- $3(z-y)=x$
В таком случае $y=x$, что противоречит $x<y$.
Итого: у нас любая тройка является тройкой первого вида, а всего таких троек 144.
