Задача 1.
Колонна из 99 автомобилей движется по шоссе со скоростью 57,6 км/ч. Все автомобили абсолютно дисциплинированные — никто никого не обгоняет — и абсолютно одинаковые — длина каждого из них 4 метра.
Во время движения дистанция между соседними автомобилями ровно 10 метров, но если какой-либо автомобиль останавливается, то едущий за ним должен подъехать и остановиться на расстоянии двух метров от него. Трогается же автомобиль в тот момент, когда дистанция до впереди едущего автомобиля опять становится равна 10 метрам.
По пути колонна встретила светофор, который меняет свет с красного на зелёный и с зелёного на красный каждые 17 секунд: горит зелёным 17 секунд, красным — 17 секунд, потом опять зелёным — 17 секунд и т.д. За какое максимально возможное время вся колонна проедет мимо светофора?
Считать, что останавливается и разгоняется автомобиль мгновенно. Отсчёт начинается, как только первый автомобиль колонны передним бампером пересекает светофор.
Ответ на Задачу 1.
Заметим сперва, что 57,6 км/ч — это в точности 16 метров в секунду.
Узнаем сначала, сколько автомобилей успевает проехать, пока горит зелёный свет. За 17 секунд первый автомобиль уедет от светофора на расстояние равное 16 ⋅ 17 = 272 метрам. Расстояние между носами (передними бамперами) автомобилей равно 10 + 4 = 14 метрам.
Заметим, что 272 = 14 ⋅ 19 + 6. В эти самые оставшиеся 6 метров из правой части помещается ещё один автомобиль. Всего за 17 секунд успевает проехать 19 + 1 = 20 автомобилей.
Заметим, что 99 = 20 ⋅ 4 + 19.
1) Ситуация 1.
Первый автомобиль колонны начинает движение на только что загоревшийся зелёный цвет. Для проезда автомобилей мимо светофора потребуется четыре цикла светофора «зелёный + красный», и при этом за светофором останется ещё 19 автомобилей.
Четыре полных цикла составляют (17 + 17) ⋅ 4 = 136 секунд. Время движения колонны, состоящей из 19 автомобилей равно (19 ⋅ 4 + 18 ⋅ 10) / 16 = 16 секунд.
Следовательно, общее время прохождения колонны из 99 автомобилей равно 136 + 16 = 152 секунды.
2) Ситуация 2.
Колонна подъезжает к зелёному светофору, и до того, как загорится красный свет, мимо светофора успевает проехать некоторое количество автомобилей, меньшее 19 . Причём красный цвет загорается ровно в тот момент, когда очередной автомобиль подъезжает к светофору.
Таким образом, к 152 секундам добавится ещё время красного светофора — ещё 17 секунд.
152 + 17 = 169
Это и есть максимально возможное время.
Ответ: 169 секунд.
