Задача 3.
Длинная колонна из автомобилей движется по шоссе со скоростью 54 км/ч. Все автомобили абсолютно дисциплинированные — никто никого не обгоняет — и абсолютно одинаковые — длина каждого из них 4 метра.
Во время движения дистанция между соседними автомобилями ровно 10 метров, но если какой-либо автомобиль останавливается, то едущий за ним должен подъехать и остановиться на расстоянии двух метров от него. Трогается же автомобиль в тот момент, когда дистанция до впередиедущего автомобиля опять становится равна 10 метрам, причём с уже большей скоростью, равной 57,6 км/ч.
По пути колонна встретила светофор, который загорелся красным, как только первый автомобиль колонны подъехал к нему вплотную. Горел красным светофор 17 секунд, затем переключился на зелёный. Какой самый ранний по счёту автомобиль колонны смог проехать светофор без остановки?
Считать, что останавливается и разгоняется автомобиль мгновенно. Если автомобиль может не останавливаться в какой-то момент (по той причине, что впередистоящий автомобиль в этот момент тронулся), то автомобиль не останавливается. Нумерация автомобилей в колонне начинается с 1.
Ответ на Задачу 3.
Длина колонны из $N$ стоящих автомобилей равна $(N-1) \cdot 6+4$ метров. $(N+1)$-й по счёту автомобиль колонны не может пересечь отметку в
$$ ((N-1) \cdot 6+4)+2=N \cdot 6 $$
метров от светофора до тех пор, пока $N$-й автомобиль не тронется. При этом трогается $N$-й автомобиль в тот момент, когда вся колонна перед ним растягивается с длины $(N-1) \cdot 6$ на длину $(N-1) \cdot 14$ метров.
Поскольку скорость автомобиля после остановки равна 16 метрам в секунду (это то же самое, что и 57,6 км/ч), такое растяжение происходит за
$$ \frac{(N-1) \cdot 8}{16} $$
секунд. В тот момент, когда светофор загорелся красным, $(N+1)$-й автомобиль колонны находится от светофора на расстоянии $N \cdot 14$ метров. Поэтому, если $(N+1)$-й автомобиль колонны смог продолжить движение без остановки, должно выполняться неравенство
$$ N \cdot 6 \leqslant N \cdot 14-255-\frac{(N-1) \cdot 8}{16} \cdot 15 $$
которое равносильно
$$ 247+\frac{1}{2} \leqslant \frac{N}{2} $$
что, в свою очередь, равносильно $N \geqslant 495$. Более того, выполнения этого неравенства, очевидно, достаточно для того, чтобы автомобили, начиная с $(N+1)$-го, могли продолжить движение без остановки. Минимальный подходящий целый $N$ равен 495. Соответственно, 496-й автомобиль колонны сможет продолжить движение без остановки.
Ответ: 496.
