Олимпиада «Осенний Олимп», 7-9 класс, 2021 год
дата проведения: 19 ноября 2021
Задача 5.
Окружность передних колёс экипажа и окружность задних колёса этого же экипажа составляют целое количество футов каждая. Если окружность переднего колёса уменьшить на 2 фута, а заднего увеличить на 1 фут, то на расстоянии 120 футов переднее колесо сделает на 20 оборотов меньше заднего. Найти длину окружности переднего колёса. Нужно найти все возможные варианты.
Ответ на Задачу 5.
Пусть $p$ футов - длина окружности переднего колёса, а $z$ футов заднего. Тогда имеем уравнение
$$ \frac{120}{p-2}+20=\frac{120}{z+1} $$
Домножив его на $(p-2)(z+1) / 20$, получаем
$$ 6(z+1)+(p-2)(z+1)=6(p-2) $$
что равносильно
$$ p z+4 z-5 p+16=0 $$
что равносильно
$$ (p+4)(z-5)=-36 $$
Учитывая, что $p>0$ и $z>0$, получаем следующие 4 варианта:
- $z=1$ и $p=5$
- $z=2$ и $p=8$
- $z=3$ и $p=14$
- $z=4$ и $p=32$
Ответ: 5, 8, 14 или 32 фута.
