Ответ на задачу: Дерево-квадерево имеет квадратное поперечное сечение с квадратными же кольцами на нём. Например, сечение дерева-квадерева с пятью кольцами (центральный белый квадрат тоже считается «кольцом») выглядит так: Зведочёт Ефим после долгих ...

Олимпиада «Весенний Олимп», 4 класс, 2022 год, 1 тур, 1 вариант

дата проведения: 12 апреля 2022

Задача 6.

Дерево-квадерево имеет квадратное поперечное сечение с квадратными же кольцами на нём. Например, сечение дерева-квадерева с пятью кольцами (центральный белый квадрат тоже считается «кольцом») выглядит так:

Зведочёт Ефим после долгих поисков нашёл пень такого дерева и после долгих изысканий выяснил следующее:

на пне 4 кольца
обхват пня равен 96 локтям
для любых двух соседних (касающихся друг друга) колец площадь внешнего кольца (именно «кольца», то есть квадрата с квадратной дыркой) равна площади внутреннего кольца (которое является квадратом без дырки только в случае центрального белого квадрата)

Каков обхват центрального кольца (центрального белого квадрата)?

Ответ на Задачу 6.

Ответ: 48 локтей.

Решение:

Обозначим стороны колец буквами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (начиная изнутри).

Имеем равенства:

$a \cdot a = b \cdot b - a \cdot a$

$b \cdot b - a \cdot a = c \cdot c - b \cdot b$

$c \cdot c - b \cdot b = d \cdot d - c \cdot c$

равносильные следующим:

$b \cdot b = 2 \cdot a \cdot a$

$c \cdot c = 3 \cdot a \cdot a$

$d \cdot d = 4 \cdot a \cdot a$

Отсюда видно, что $d \cdot d = (2 \cdot a) \cdot (2 \cdot a)$ . Из этого же равенства сразу следует (в силу того, что площадь квадрата возрастает с возрастанием длины стороны), что $d = 2 \cdot a$ .

Поэтому сторона (как и обхват) внутреннего кольца вдвое меньше стороны (и, соответственно, обхвата) внешнего кольца.

Итого обхват внутреннего кольца равен 48 локтям.