Задача 6.
Дерево-квадерево имеет квадратное поперечное сечение с квадратными же кольцами на нём. Например, сечение дерева-квадерева с пятью кольцами (центральный белый квадрат тоже считается «кольцом») выглядит так:
Зведочёт Ефим после долгих поисков нашёл пень такого дерева и после долгих изысканий выяснил следующее:
- на пне 4 кольца
- обхват пня равен 96 локтям
- для любых двух соседних (касающихся друг друга) колец площадь внешнего кольца (именно «кольца», то есть квадрата с квадратной дыркой) равна площади внутреннего кольца (которое является квадратом без дырки только в случае центрального белого квадрата)
Каков обхват центрального кольца (центрального белого квадрата)?
Ответ на Задачу 6.
Ответ: 48 локтей.
Решение:
Обозначим стороны колец буквами $a$, $b$, $c$, $d$ (начиная изнутри).
Имеем равенства:
$$ a \cdot a = b \cdot b - a \cdot a $$
$$ b \cdot b - a \cdot a = c \cdot c - b \cdot b $$
$$ c \cdot c - b \cdot b = d \cdot d - c \cdot c $$
равносильные следующим:
$$ b \cdot b = 2 \cdot a \cdot a $$
$$ c \cdot c = 3 \cdot a \cdot a $$
$$ d \cdot d = 4 \cdot a \cdot a $$
Отсюда видно, что $ d \cdot d = (2 \cdot a) \cdot (2 \cdot a) $. Из этого же равенства сразу следует (в силу того, что площадь квадрата возрастает с возрастанием длины стороны), что $ d = 2 \cdot a $.
Поэтому сторона (как и обхват) внутреннего кольца вдвое меньше стороны (и, соответственно, обхвата) внешнего кольца.
Итого обхват внутреннего кольца равен 48 локтям.
