Задача 4. Набор на кружки
ответУчащиеся школы должны выбрать себе дополнительные занятия на год. Каждый из них выбрал как минимум один предмет из предложенных: биологии, музыки и шахмат. Известно, что 150 школьников выбрали биологию, 130 учеников — музыку и 100 — шахматы, но каждый учащийся мог выбрать и несколько предметов.
Ответьте на вопросы:
- Какое минимальное количество учащихся могло быть в школе?
- Какое максимальное количество учащихся могло быть в школе?
- Считайте, что одновременно биологию и музыку выбрали 85 учащихся. Сколько школьников выбрало ровно один из этих двух предметов?
- Считайте, что ни один школьник не выбрал одновременно биологию и шахматы, одновременно биологию и музыку выбрали 60 человек, а всего в школе 250 учащихся. Сколько школьников выбрало и шахматы, и музыку?
- Считайте, что в ситуации из пункта 4 на кружки разрешили записываться учащимся других школ. Какое минимальное дополнительное количество школьников должно записаться на предложенные предметы, чтобы количество людей, посещающих только музыку, стало равняться количеству людей, не посещающих её?
В ответе запишите пять целых чисел, каждое число — в отдельной строке. Если вы не можете дать ответ на какой-то вопрос, запишите в ответе любое число.
Ответ на Задачу 4.
1. Так как 150 школьников выбрали биологию, количество учеников в школе не может быть меньше 150. Но оно может быть равно 150, если все ученики будут выбирать биологию и ещё одно или два дополнительных занятия.
2. Наибольшее число учеников в школе окажется в случае, если все выбрали разные занятия. Тогда число учеников будет равно 150 + 130 + 100 = 380.
3. Если и биологию, и музыку выбрали 85 учащихся, то только биологию выбрали 150 − 85 = 65 учащихся, только музыку выбрали 130 − 85 = 45, а ровно один из этих предметов выбрали 65 + 45 = 110 школьников.
4. Поскольку из 250 учащихся биологию выбрали 100 учащихся, шахматы 150, и никто не выбрал и шахматы, и биологию одновременно, то каждый учащийся обязательно выбрал или биологию, или шахматы, то есть нет учащихся, выбравших только музыку. Каждый учащийся, выбравший музыку, выбрал ещё один предмет. При этом музыку и биологию выбрали 60 учащихся, значит, музыку и шахматы выбрали 130 − 60 = 70 учащихся.
5. В предыдущем пункте музыку посещают 130 человек, а не посещают 250 − 130 = 120 человек, при этом только музыку не посещает никто. Чтобы число учеников, посещающих только музыку, стало равным числу учеников, не посещающих музыку, необходимо, чтобы 120 новых школьников записались только на музыку.
