Всероссийская олимпиада школьников по математике, 11 класс, 2012 год
дата проведения: 19 октября 2012 - 30 октября 2012
Задача 4.
Существует ли натуральное n такое, что число n2012 − 1 является какой-либо степенью двойки?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: Нет, не существует.
Решение:
Преобразуем:
n2012 − 1 = (n1006)2 − 1 = (n1006 − 1)(n1006 + 1)
Предположим, что данное число является степенью двойки, тогда каждый из двух полученных множителей также является степенью двойки, причём эти множители отличаются на 2. Это возможно только в одном случае, если n1006 − 1 = 2, а n1006 + 1 = 4, но таких натуральных n не существует.
