<< к заданиям
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 11 класс, 2012 год
дата проведения: 19 октября 2012 - 30 октября 2012

Задача 5.

Решите систему уравнений:

{xy=1x+y+cos2z=2


Ответ на Задачу 5.

Ответ: x=y=1; z=π2+πn, где nZ.

Решение:

Из первого уравнения x, y оба положительны или оба отрицательны. Но из второго уравнения x+y1, поэтому они оба положительны. Тогда, применив неравенство о средних и использовав первое уравнение системы, получим: x+y2xy=2.

Так как zR выполняется cos2z0, то из второго уравнения следует, что x+y=2 и cosz=0. Откуда x=y=1; z=π2+πn, где nZ.