Ответ: $x=y=1$; ${\displaystyle z=\frac{\pi }{2}+\pi n}$, где $n\in Z$.

Решение:

Из первого уравнения $x$, $y$ оба положительны или оба отрицательны. Но из второго уравнения $x+y\ge 1$, поэтому они оба положительны. Тогда, применив неравенство о средних и использовав первое уравнение системы, получим: $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2$.

Так как $\forall z\in R$ выполняется ${\cos }^{2}z\ge 0$, то из второго уравнения следует, что $x+y=2$ и $\cos z=0$. Откуда $x=y=1$; ${\displaystyle z=\frac{\pi }{2}+\pi n}$, где $n\in Z$.