Всероссийская олимпиада школьников по математике, 11 класс, 2012 год
дата проведения: 19 октября 2012 - 30 октября 2012
Задача 6.
Можно ли сложить сплошную стенку, имеющую форму параллелепипеда с размерами 27 × 16 × 15,
- из кирпичей размером 3 × 5 × 7;
- из кирпичей размером 2 × 5 × 6,
если ломать кирпичи нельзя, но можно поворачивать?
Ответ на Задачу 6.
Ответ: а) нет; б) нет.
Решение:
а) Заметим, что объём одного кирпича 3 × 5 × 7 кратен 7. Из таких кирпичей можно сложить только стенку, объём которой кратен 7. А у нас объём стенки не кратен 7.
б) Предположим, что выложить можно. Посмотрим на грань стенки размера 27 × 15. На ней видны следы кирпичей 2 × 5 × 6, т.е. прямоугольники 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6 в зависимости от того, какой стороной кирпич примыкает к грани. Таким образом, прямоугольник 27 × 15 нечётной площади должен быть замощен прямоугольниками 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6, площадь каждого из которых чётна, — противоречие.
