Задача 5.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, $MD$ и $ME$ — биссектрисы треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Отрезки $BM$ и $DE$ пересекаются в точке $F$. Найдите $MF$, если $DE$ = 7.
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 3,5.
Решение:
По свойству биссектрисы из треугольников $AMB$ и $CMB$ получим, что $\displaystyle \frac{AD}{BD} = \frac{AM}{BM}$ и $\displaystyle \frac{CE}{BE} = \frac{CM}{BM}$.
По условию, $AM$ = $CM$, значит, $\displaystyle \frac{AD}{BD} = \frac{CE}{BE}$, следовательно, $DE$ || $AC$ (по теореме, обратной теореме Фалеса, для угла $ABC$ или же из подобия треугольников $DBE$ и $ABC$). Тогда $F$ — середина отрезка $DE$.
Так как $MD$ и $ME$ — биссектрисы смежных углов, то треугольник $DME$ — прямоугольный. Его медиана $MF$, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы $DE$.
