Задача 6.
В клетчатом квадрате 6 × 6, вначале пустом, Саша закрашивает по одной клетке, вписывая в каждую только что закрашенную клетку количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел в них будет равна 60.
Ответ на Задачу 6.
Доказательство:
Выложим наш квадрат из спичек, в том числе все перегородки между клеточками (длина спички равна стороне клеточки). Вместо того, чтобы закрашивать клетку, будем закрашивать ограничивающие её спички. Тогда число, записываемое в каждую клетку равно количеству ранее закрашенных спичек, ограничивающих эту клетку. Выкинем все спички, составляющие периметр исходного квадрата. Тогда каждая оставшаяся спичка добавляет 1 в общую сумму (учитывается 1 раз в числе той из двух клеток, разделяемых этой спичкой, которая была закрашена позднее. Таким образом, сумма всех чисел есть количество внутренних перегородок между клетками. А их будет 6*5 вертикальных и 6*5 горизонтальных, т.е. всего 60.
