Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2014 год, 2 этап
дата проведения: 22 сентября 2014 - 29 сентября 2014
Задача 1.
Подберите такие не равные нулю числа $n$ и $m$, чтобы равенство $(n ⋅ 5^n)^n = m ⋅ 5^9$ было верным.
Ответ на Задачу 1.
Ответ: Например $n = 3$, $m = 27$.
Решение:
Таких пар чисел бесконечно много.
Покажем одно из самых естественных решений. Нам нужно, чтобы $n^n ⋅ 5^{n^2} = m ⋅ 5^9$. Если $n = 3$, то $5^{n^2} = 5^9$. Теперь вычислим $m$: $m = 3^3 = 27$. Пара $n = 3$, $m = 27$ является решением.
Покажем, как можно получить другие решения. Возьмем произвольное $n$. Например, $n = 6$. Тогда в левой части равенства мы получаем: $6^6 ⋅ 5^{36}$, следовательно, $m = 6^6 ⋅ 5^{27}$.
