Ответ: Одно число 175.

Решение:

Первый способ.

В составе цифр, которыми записывается число, нет цифры 0, иначе не может быть выполнено условие задачи. Данное трёхзначное число получено умножением на 5 произведения своих цифр, следовательно, оно делится на 5. Значит, его запись оканчивается цифрой 5. Получаем, что произведение цифр, умноженное на 5, должно делиться на 25. Заметим, что чётных цифр в записи числа быть не может, иначе произведение цифр было бы равно нулю. Таким образом, трёхзначное число должно делиться на 25 и не содержать чётных цифр. Таких чисел только пять: 175, 375, 575, 775 и 975. Произведение цифр искомого числа должно быть меньше 200, иначе, умноженное на 5, даст четырёхзначное число. Поэтому числа 775 и 975 заведомо не подходят. Среди оставшихся трёх чисел только 175 удовлетворяет условию задачи.

Второй способ.

Заметим (аналогично первому способу решения), что последняя цифра искомого числа — 5.

Пусть $a$, $b$, 5 — последовательные цифры искомого числа. По условию задачи имеем:

100$a$ + 10$b$ + 5 = $a$ ⋅ $b$ ⋅ 5 ⋅ 5

Поделив обе части уравнения на 5, получаем:

20$a$ + 2$b$ + 1 = 5$ab$.

После вычитания из обеих частей равенства 20$a$ и вынесения за скобки общего множителя в правой части, получаем:

2$b$ + 1 = 5$a$(b − 4$a$) (1)

Учитывая, что $a$ и $b$ могут принимать натуральные значения от 1 до 9, получаем, что возможные значения $a$ — только 1 или 2. Но $a$ = 2 не удовлетворяет равенству (1), в левой части которого нечётное число, а в правой при подстановке $a$ = 2 получается чётное. Итак, единственная возможность $a$ = 1. Подставив это значение в (1), получаем:

2$b$ + 1 = 5$b$ − 20,

откуда $b$ = 7. Ответ: единственное искомое число — 175.