Ответ на задачу: Даны два уравнения ax^2 + bx + c = 0 и cx^2 + bx + a = 0, в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень. Верно ли, что a = c?

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2015 год

дата проведения: 19 октября 2015 - 25 октября 2015

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2015/#math

Задача 3.

Даны два уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ и $c x^{2} + b x + a = 0$ , в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень. Верно ли, что $a = c$ ?

Ответ на Задачу 3.

Ответ: Нет, не верно.

Решение:

Достаточно привести пример двух таких уравнений. Например, уравнения $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ и $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ имеют общий корень $x = 1$ .

Комментарий: Можно указать общие свойства таких уравнений. Пусть $x = t$ — общий корень, то есть выполнены $a t^{2} + b t + c = 0$ и $c t^{2} + b t + a = 0$ . Тогда:

$- b t = a t^{2} + c$ = $c t^{2} + a \Rightarrow a t^{2} - c t^{2} = a - c \Rightarrow (a - c) (t^{2} - 1) = 0$

Если $a \neq c$ , то $t = \pm 1$ .

Вывод: Если дана пара таких уравнений, для которых $a \neq c$ , то общий корень равен 1 или −1. Тогда коэффициенты удовлетворяют соотношению $a \pm b + c = 0$ . Нетрудно подобрать такую тройку, в которой $a \neq c$ .