Задача 3.
Даны два уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$, в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень. Верно ли, что $a = c$?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: Нет, не верно.
Решение:
Достаточно привести пример двух таких уравнений. Например, уравнения $x^2 − 3x + 2 = 0$ и $2x^2 − 3x + 1 = 0$ имеют общий корень $x = 1$.
Комментарий: Можно указать общие свойства таких уравнений. Пусть $x = t$ — общий корень, то есть выполнены $at^2 + bt + c = 0$ и $ct^2 + bt + a = 0$. Тогда:
$ − bt = at^2 + c$ = $ct^2 + a \quad \Rightarrow \quad at^2 − ct^2 = a − c \quad \Rightarrow \quad (a − c)(t^2 − 1) = 0 $
Если $a≠c$, то $t = \pm1$.
Вывод: Если дана пара таких уравнений, для которых $a≠c$, то общий корень равен 1 или −1. Тогда коэффициенты удовлетворяют соотношению $a \pm b + c = 0$. Нетрудно подобрать такую тройку, в которой $a≠c$.
