Задача 4.
В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено 44 ответа «правдивец» и 28 ответов «лжец». Сколько правдивых ответов мог получить директор?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 16 или 56.
Решение:
Если вызвано $n$ десятиклассников, то дано $n$($n$ – 1) = 44 + 28 = 72 ответа, откуда $n$ = 9. Пусть из этих 9 школьников $t$ правдивцев и (9 – $t$) лжецов. Ответ «лжец» может дать только лжец про правдивца и правдивец про лжеца, таких фраз было 2$t$(9 – $t$) = 28, откуда $t$ = 2 или $t$ = 7. Если правдивцев двое, то они дали 2 ⋅ 8 = 16 правдивых ответов. Если правдивцев семеро, то они дали 7 ⋅ 8 = 56 правдивых ответов.
Комментарий: Обратите внимание на то, что из условия следует, что правдивыми являются половина из ответов «лжец». Но сразу не ясно, какова доля правдивых ответов «правдивец».
