Ответ: Существует.

Решение:

Достаточно привести один пример такого числа. Покажем пару способов, как можно получать такие примеры.

Пример 1.

Заметим, что 10075 = 2015 ⋅ 5, сумма цифр числа 10075 равна 13. Тогда число $\underbrace{1007510075\ldots10075}_{155 \text{ раз}}$ кратно 2015, а сумма его цифр равна 13 ⋅ 155 = 2015.

Пример 2.

Сумма цифр числа 2015 равна 8, сумма цифр числа 4030 = 2015 ⋅ 2 равна 7. Представим число 2015 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых кратно семи, а другое – восьми. Например, 2015 = 7 + 8 ⋅ 251. Тогда число $4030\underbrace{20152015.2015}_{251 \text{ раз}}$ кратно 2015, и сумма его цифр равна 2015.