Задача 4.
- Разбейте натуральные числа от 1 до 10 на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была равна 2 или 3.
- Можно ли натуральные числа от 1 до 2014 разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была 2 или 3?
Ответ на Задачу 4.
Ответ:
- (4;1), (5;2), (6;3), (9;7), (10;8) или (3;1), (4;2), (8;5), (9;6), (10;7).
- Числа от 1 до 2014 также можно разбить на пары, обладающие заданным свойством.
Решение:
б) Покажем два наиболее естественных способа такого разбиения.
Способ 1.
Числа от 1 до 2010 разобьём на 201 группу по 10 последовательных натуральных чисел. Затем в каждой группе разобьём числа на пары аналогично тому, как это сделано в пункте а). Оставшиеся четыре числа разобьём на пары следующим образом: (2013; 2011), (2014; 2012).
Способ 2.
Любые четыре последовательных числа можно разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была равна 2: ($n$ + 2; $n$) и ($n$ + 3; $n$ + 1). Так как число 2008 делится на 4, числа от 1 до 2008 можно разбить на группы по четыре последовательных числа, которые разбиваются на нужные пары. Оставшиеся шесть чисел разобьём на пары следующим образом: (2012; 2009), (2013; 2010), (2014; 2011).
Возможны и другие разбиения чисел на группы по 4 и по 6 последовательных чисел, которые в свою очередь разбиваются на пары, обладающие заданным свойством.
