Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2016 год
дата проведения: 10 октября 2016 - 16 октября 2016
Задача 2.
Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?
Ответ на Задачу 2.
Ответ: Нет.
Решение:
Если требуемое в задаче возможно, то числа, кратные шести, должны разбиться на пары. Так как 800 = 133 ⋅ 6 + 2, чисел от 1 до 800, кратных шести, ровно 133. Противоречие: 133 числа нельзя разбить на пары.
Замечание: Среди чисел от 1 до 800 остаток 0 при делении на 6 дают 133 числа, остаток 1 — 134 числа, остаток 2 — 134 числа, остаток 3 — 133 числа, остаток 4 — 133 числа, остаток 5 — 133 числа. Следовательно, противоречие также можно получить иначе. Например, число, дающее остаток 1, должно быть в паре с числом, дающим остаток 5. Значит, таких чисел должно быть поровну, что не так.
