Ответ на задачу: На координатной плоскости изображены графики функций y = x^2 + bx + c и y = x^2 + cx + b. Найдите значения b и c. В ответе запишите уравнения каждой из функций.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2016 год

дата проведения: 10 октября 2016 - 16 октября 2016

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2016/#math

Задача 4.

На координатной плоскости изображены графики функций $y$ = $x^{2}$ + $b x$ + $c$ и $y$ = $x^{2}$ + $c x$ + $b$ . Найдите значения $b$ и $c$ . В ответе запишите уравнения каждой из функций.

Ответ на Задачу 4.

Ответ: $y$ = $x^{2}$ + 2 $x$ − 3 и $y$ = $x^{2}$ − 3 $x$ + 2.

Решение:

Некоторое число $t$ является корнем обоих трёхчленов, поэтому $t^{2}$ + $b t$ + $c$ = $t^{2}$ + $c t$ + $b$ , откуда ( $b$ − $c$ )( $t$ − 1) = 0. Так как $b$ ≠ $c$ (иначе параболы совпадут), получаем, что $t$ = 1. Если парабола $y$ = $x^{2}$ + $b x$ + $c$ пересекает ось абсцисс в точках −3 и 1, то по теореме, обратной теореме Виета $b$ = −(−3 + 1) = 2, $c$ = −3 ⋅ 1 = −3.