Ответ: 60°.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведены высоты $A{A}_1$ и $B{B}_1$. Пусть точка $H$ — точка пересечения высот, точка $I$ — центр вписанной окружности.

1. Сумма углов четырёхугольника $A_{1}H{B}_{1}C$ равна 360°. Получаем:

$\angle AHB$ = $\angle A_{1}H{B}_1$ = 360° − 90° − 90° − $\angle C$ = 180° − $\angle C$

2. По теореме о сумме углов треугольника имеем соотношения $\angle A$ + $\angle B$ + $\angle C$ = 180° (для треугольника $ABC$) и ${\displaystyle \frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}}$ + $\angle AIB$ = 180° (для треугольника $ABI$). Отсюда:

$\angle AIB$ = 180° − ${\displaystyle \frac{\angle A+\angle B}{2}}$ = 180° − (180° − $\angle C$) : 2 $\Rightarrow \angle AIB$ = 90° + ${\displaystyle \frac{\angle C}{2}}$

3. Точки $A$, $B$, $H$ и $I$ лежат на одной окружности. Так как треугольник $ABC$ остроугольный, точки $H$ и $I$ лежат по одну сторону от хорды $AB$, то есть вписанные углы $AIB$ и $AHB$ опираются на одну и ту же дугу. Значит,

$\angle AIB$ = $\angle AHB$, откуда

90° + ${\displaystyle \frac{\angle C}{2}}$ = 180° − $\angle C$, а значит $\angle C$ = 60°.