Задача 1.
В рамке 8 × 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек. Сколько клеточек в рамке 254 × 254 шириной в 2 клетки?
Ответ на Задачу 1.
Ответ: 2016.
Решение:
Первый способ.
Разрежем рамку на четыре одинаковых прямоугольника так, как показано на рисунке. Ширина прямоугольников равна ширине рамки, т.е. 2 клетки. Длина каждого прямоугольника на 2 меньше стороны рамки: 254 − 2 = 252 клетки. Тогда площадь одного прямоугольника равна 2 · 252 = 504. А значит, всего в рамке 4 · 504 = 2016 клеток.
Второй способ.
Площадь рамки можно получить, если из площади квадрата 254 × 254 вычесть площадь внутреннего квадрата. Сторона внутреннего квадрата на 4 клетки меньше стороны большого. Значит, площадь рамки равна
2542 − 2502 = (254 − 250)⋅(254 + 250) = 4 ⋅ 504 = 2016
Замечание: Если обозначить сторону рамки через $n$, то можно доказать (например, описанными выше способами), что её площадь будет равна 8$n$ — 16 клеток.
