Ответ на задачу: Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа a, b, c:Антон: 1) a + b + c = 34; 2) abc = 56;Борис: 1) ab + bc + ac = 311 2) наименьшее из чисел равно 5;Настя: 1) a = b = c 2) числа a, b и c

<< к заданиям

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2016 год

дата проведения: 10 октября 2016 - 16 октября 2016

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2016/#math

Задача 4.

Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа $a$ , $b$ , $c$ :

Антон: 1) $a$ + $b$ + $c$ = 34; 2) $a b c$ = 56;
Борис: 1) $a b$ + $b c$ + $a c$ = 311 2) наименьшее из чисел равно 5;
Настя: 1) $a$ = $b$ = $c$ 2) числа $a$ , $b$ и $c$ — простые.

У каждого школьника одно утверждение верное, а другое — нет. Найдите числа $a$ , $b$ , $c$ .

Ответ на Задачу 4.

Ответ: 2, 13, 19 (в любом порядке).

Решение:

Если из утверждений Антона верно второе утверждение, то оба утверждения Насти неверны. Значит, $a$ + $b$ + $c$ = 34. Таким образом, верно второе Настино утверждение. Так как сумма трёх простых чисел равна 34, они не могут все быть нечётными, и одно из них равно 2. Значит, из утверждений Бориса верно первое утверждение.

Пусть для определённости $a$ = 2. Тогда $b$ + $c$ = 32.

Далее можно перебрать все пары простых чисел, дающие в сумме 32, и проверить для них равенство $a b$ + $b c$ + $a c$ = 311.

Но можно поступить так:

311 = $a b$ + $b c$ + $a c$ = $a$ ( $b$ + $c$ ) + $b c$ = 64 + $b c$ , откуда $b c$ = 247.

Так как 247 = 19⋅13, получаем что $b$ = 13, $c$ = 19 (или наоборот).