Задача 4.
Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа $a$, $b$, $c$:
- Антон: 1) $a$ + $b$ + $c$ = 34; 2) $abc$ = 56;
- Борис: 1) $ab$ + $bc$ + $ac$ = 311 2) наименьшее из чисел равно 5;
- Настя: 1) $a$ = $b$ = $c$ 2) числа $a$, $b$ и $c$ — простые.
У каждого школьника одно утверждение верное, а другое — нет. Найдите числа $a$, $b$, $c$.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 2, 13, 19 (в любом порядке).
Решение:
Если из утверждений Антона верно второе утверждение, то оба утверждения Насти неверны. Значит, $a$ + $b$ + $c$ = 34. Таким образом, верно второе Настино утверждение. Так как сумма трёх простых чисел равна 34, они не могут все быть нечётными, и одно из них равно 2. Значит, из утверждений Бориса верно первое утверждение.
Пусть для определённости $a$ = 2. Тогда $b$ + $c$ = 32.
Далее можно перебрать все пары простых чисел, дающие в сумме 32, и проверить для них равенство $ab$ + $bc$ + $ac$ = 311.
Но можно поступить так:
311 = $ab$ + $bc$ + $ac$ = $a$($b$ + $c$) + $bc$ = 64 + $bc$, откуда $bc$ = 247.
Так как 247 = 19⋅13, получаем что $b$ = 13, $c$ = 19 (или наоборот).
