Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2017 год
дата проведения: 16 октября 2017 - 22 октября 2017
Задача 2.
Известно, что $a^2 + b = b^2 + c = c^2 + a$. Какие значения может принимать выражение:
$a\left(a^2 − b^2\right) + b\left(b^2 − c^2\right) + c\left(c^2 − a^2\right)$
Ответ на Задачу 2.
Ответ: 0.
Решение:
Заметим, что равенство $a^2 + b = b^2 + c$ можно записать в виде: $a^2 − b^2 = c − b$. Аналогично имеем $b^2 − c^2 = a − c$, $c^2 − a^2 = b − a$. Подставляя эти равенства в искомые выражения, получаем, что:
$ a\left(a^2 − b^2\right) + b\left(b^2 − c^2\right) + c\left(c^2 − a^2\right) = a(c − b) + b(a − c) + c(b − a) = 0 $
