Ответ: 0 или 64 фигуры.

Решение:

Предположим, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит $m$ фигур, а в каждом прямоугольнике 1 × 3 — $n$ фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник 2 × 6. С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата 2 × 2, и значит в нём 3$m$ фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника 1 × 3, и тогда в нём 4$n$ фигур. Получаем соотношение 3$m$ = 4$n$, откуда $n$ делится на 3. Но $n$ может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, $n$ = 0 или $n$ = 3. Иными словами, либо все прямоугольники 1 × 3 пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники 1 × 3 полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры.