Ответ на задачу: В треугольнике ABC провели медиану AM. Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45° и 30° соответственно.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2017 год, 2 этап

дата проведения: 16 октября 2017 - 22 октября 2017

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2017/#math

Задача 6.

В треугольнике $A B C$ провели медиану $A M$ . Найдите угол $A M C$ , если углы $B A C$ и $B C A$ равны 45° и 30° соответственно.

Ответ на Задачу 6.

Ответ: 135°.

Решение:

Пусть $B H$ — высота треугольника $A B C$ . По условию угол $B A C$ равен 45°, поэтому $B H$ = $A H$ . В треугольнике $C B H$ катет $B H$ лежит против угла 30°, поэтому $B C$ = 2 $B H$ . Медиана $H M$ прямоугольного треугольника $B H C$ равна половине гипотенузы $B C$ .

Собирая все равенства отрезков воедино, получаем $A H$ = $B H$ = $H M$ = $M B$ = $M C$ . Значит, треугольник $M B H$ равносторонний, и угол $C M H$ равен 120°. Кроме того, треугольник $A H M$ равнобедренный, его угол $A H M$ равен 90° + 60° = 150°, поэтому угол $A M H$ равен 15°. Таким образом,

$∠ A M C$ = $∠ A M H$ + $∠ H M C$ = 120° + 15° = 135°.