Ответ на задачу: Числа a, b, c и d таковы, что a + b = c + d ≠ 0, ac = bd. Докажите, что a + c = b + d.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2017 год

дата проведения: 16 октября 2017 - 22 октября 2017

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2017/#math

Задача 5.

Числа $a$ , $b$ , $c$ и $d$ таковы, что $a$ + $b$ = $c$ + $d$ ≠ 0, $a c$ = $b d$ . Докажите, что $a$ + $c$ = $b$ + $d$ .

Ответ на Задачу 5.

Решение:

Если $a \neq 0$ , то подставим $c = \frac{b d}{a}$ , получим

$a + b = \frac{b d}{a} + d ⟺ a + b = \frac{d}{a} \cdot (b + a) ⟺ a = d$

Отсюда $b = c$ и $a + c$ = $b + d$ .

Если же $a$ = 0, то $b \neq 0$ (иначе $a + b$ = 0), поэтому $d$ = 0 (из $a c$ = $b d$ ). Но тогда равенство $a + b$ = $c + d$ переписывается как $b$ = $c$ , откуда следует нужное равенство.

Возможны и другие решения.