Задача 6.
Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые)
Ответ на Задачу 6.
Ответ: Невозможно.
Решение:
Занумеруем знаки последовательно числами от 1 до 60. Докажем, что числа, записанные на знаках с номерами 30 и 31, совпадают. Разобьём оставшиеся знаки на пары вида $k$ и $k$ + 31: 1 и 32, 2 и 33, …, 29 и 60. Заметим, что сумма расстояний как от знака 30, так и от знака 31, до знаков одной пары $k$ и $k$ + 31 равна расстоянию между знаками $k$ и $k$ + 31. Поскольку число на знаках 30 и 31 равно сумме расстояний до знаков всех 29 пар и расстояния между знаками 30 и 31, то числа на знаках 30 и 31 совпадают.
