Задача 5.
Дано положительное число $a$. Известно, что уравнение $x^3 + 1 = ax$ имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение $x^3 + 1 = ax^2$ также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.
Ответ на Задачу 5.
Решение:
Обозначим положительные корни уравнения $x^3 + 1 = ax$ через $x_1$ и $x_2$ (0 < $x_1$ < $x_2$, $x_2$ : $x_1$ = 2018). Подставим их в уравнение и поделим два получившихся равенства на $x_1^3$ и на $x_2^3$:
$\displaystyle x_1^3 + 1 = ax_1 \Longleftrightarrow 1 + \left(\frac{1}{x_1}\right)^3 = a\left(\frac{1}{x_1}\right)^2 $
$\displaystyle x_2^3 + 1 = ax_2 \Longleftrightarrow 1 + \left(\frac{1}{x_2}\right)^3 = a\left(\frac{1}{x_2}\right)^2 $
Из формул видно, что $\displaystyle \frac{1}{x_1}$ и $\displaystyle \frac{1}{x_2}$ — положительные корни уравнения $x^3 + 1 = ax^2$. По условию их ровно два, и надо найти отношение большего к меньшему. Ясно, что $\displaystyle \frac{1}{x_2}$ < $\displaystyle \frac{1}{x_1}$. Тогда $\displaystyle \frac{1}{x_1} : \frac{1}{x_2} = x_2 : x_1 = 2018$.
