Разрежьте правильный пятиугольник на пять равных треугольников и один правильный пятиугольник меньшего размера.

Вычислите:

$\displaystyle \left(\frac{1 + 2}{3} + \frac{4 + 5}{6} + \frac{7 + 8}{9} + \ldots + \frac{2017 + 2018}{2019}\right) + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{673}\right)$.

Числа от 1 до 50 написаны на карточках. Можно ли разложить эти карточки в 11 мешков (чтобы в каждый мешок попала хотя бы одна карточка) так, чтобы в каждом мешке произведение чисел на карточках делилось на 9?

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность ω. На меньшей дуге $CD$ окружности ω выбрана произвольная точка $M$. Внутри квадрата отмечены такие точки $K$ и $L$, что $KLMD$ — квадрат. Найдите $∠AKD$.

Дано положительное число $a$. Известно, что уравнение $x^3 + 1 = ax$ имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение $x^3 + 1 = ax^2$ также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.

Пятачок и Винни-Пух решили съесть квадратную шоколадку 7×7. Они поочерёдно по клеточкам выедают из неё кусочки: Пятачок — 1×1, Винни-Пух — 2×1 или 1×2 (кусочки можно выедать не обязательно с краю).

Первый ход делает Пятачок. Если перед ходом Винни-Пуха в шоколадке не осталось ни одного кусочка 2×1 или 1×2, то вся оставшаяся шоколадка достаётся Пятачку. Кто из друзей сможет съесть больше половины всей шоколадки вне зависимости от действий второго?