Задача 5.
По определению n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n. Докажите, что выражение 1008! ⋅ 1009! ⋅ 2017! ⋅ 2018! не является квадратом натурального числа.
Ответ на Задачу 5.
Решение:
Заметим, что 1008! ⋅ 1009! = (1008!)2 ⋅ 1009.
Аналогично получаем, что 2017! ⋅ 2018! = (2017!)2 ⋅ 2018.
Таким образом, 1008! ⋅ 1009! ⋅ 2017! ⋅ 2018! = (1008!)2 ⋅ (2017!)2 ⋅ 1009 ⋅ 2018 = (1008! ⋅ 2017! ⋅ 1009)2 ⋅ 2.
Последнее выражение не является квадратом, так как имеет вид 2$a$2.
Действительно, предположим, что мы имеем равенство 2$a$2 = $t$2. Тогда $t$ чётно; пусть $t$ = 2$s$. Подставляя, находим 2$a$2 = 4$s$2, то есть наше равенство можно разделить пополам: $a$2 = 2$s$2. Новое равенство аналогично исходному; его точно так же можно разделить пополам, и т. д. Но натуральные числа делить пополам неограниченное число раз нельзя, следовательно, мы пришли к противоречию.
Комментарий: доказывать последнее предположение (что квадрат натурального числа не может быть в два раза больше квадрата другого натурального числа) необязательно.
