Ответ на задачу: Внутри квадрата ABCD отмечены точки K и M (точка M находится внутри треугольника ABD, точка K — внутри BMC) так, что треугольники BAM и DKM равны (AM = KM, BM = MD, AB = KD). Найдите ∠KCM, если ∠AMB = 100°.

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2019 год

дата проведения: 14 октября 2019 - 20 октября 2019

источник: https://vos.olimpiada.ru/archive/table/tasks/years/2019/#math

Задача 5.

Внутри квадрата $A B C D$ отмечены точки $K$ и $M$ (точка $M$ находится внутри треугольника $A B D$ , точка $K$ — внутри $B M C$ ) так, что треугольники $B A M$ и $D K M$ равны ( $A M$ = $K M$ , $B M$ = $M D$ , $A B$ = $K D$ ). Найдите $∠ K C M$ , если $∠ A M B$ = 100°.

Ответ на Задачу 5.

Ответ: 35°.

Решение:

Заметим, что треугольники $A B M$ и $A M D$ также равны по трём сторонам. Таким образом, точка $M$ лежит на диагонали $A C$ квадрата, то есть $∠ M C D$ = $∠ M A D$ = $∠ M A B$ = 45° (см. рисунок).

Кроме этого, из равенства треугольников $B A M$ и $D K M$ следует, что $∠ M K D$ = $∠ B A M$ = 45°. Получается, что четырёхугольник $M K C D$ — вписанный. Тогда $∠ K C M$ = $∠ K D M$ = 180° − 100° − 45° = 35°.