Задача 6.
Даны квадратные трёхчлены $x^2 + ax + b$, $x^2 + cx + d$ и $x^2 + ex + f$. Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх:
$\displaystyle \frac{a^2 + c^2 − e^2}{4}>b + d − f$
$\displaystyle \frac{c^2 + e^2 − a^2}{4}>d + f − b$
$\displaystyle \frac{e^2 + a^2 − c^2}{4}>f + b − d$
Ответ на Задачу 6.
Решение:
Пусть корни первого квадратного трёхчлена равны $x_1$, $x_2$; второго $x_1$, $x_3$; а третьего $ −x_2$, $x_3$. Тогда (по теореме Виета) мы можем сказать, что:
$a = − \left(x_1 + x_2\right); \quad c = − \left(x_1 + x_3\right); \quad e = − \left(x_2 + x_3\right)$
$b = x_1x_2; \quad d = x_1x_3; \quad f = x_2x_3$
Рассмотрим следующее выражение:
$\displaystyle \frac{a^2 + c^2 − e^2}{4} − (b + d − f) = $
$\displaystyle = \frac{\left(x_1 + x_2\right)^2 + \left(x_1 + x_3\right)^2 − \left(x_2 + x_3\right)^2}{4} − \left(x_1x_2 + x_1x_3 − x_2x_3\right) = $
$\displaystyle = \frac{x_1^2 − x_1x_2 − x_1x_3 + x_2x_3}{2} = \frac{\left(x_1 − x_2\right)\left(x_1 − x_3\right)}{2}$
Аналогично
$\displaystyle \frac{c^2 + e^2 − a^2}{4} − (d + f − b) = \frac{\left(x_3 − x_2\right)\left(x_3 − x_1\right)}{2}$
$\displaystyle \frac{e^2 + a^2 − c^2}{4} − (f + b − d) = \frac{\left(x_2 − x_1\right)\left(x_2 − x_3\right)}{2}$
Пусть, без ограничения общности, $x_1>x_2>x_3$, тогда первое и второе выражение больше нуля, а третье — меньше нуля. Что и требовалось доказать.
