Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2020 год
дата проведения: 21 октября 2020 - 23 октября 2020
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 3.
У Юры есть 𝑛 карточек, на которых написаны числа от 1 до 𝑛. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 4.
Решение:
Предположим, что 𝑛 ≤ 13. Тогда 1 + 2 + … + 𝑛 = $\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}$ ≤ 91 < 101. Какую бы карточку Юра ни потерял, в любом случае общая сумма получится меньше 101, противоречие.
Предположим 𝑛 ≥ 15. Потерянная карточка Юры содержит число не больше 𝑛, поэтому сумма оставшихся карточек не меньше 1 + 2 + … + (𝑛 − 1) = $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$ ≥ 105 > 101, противоречие.
Следовательно, 𝑛 = 14, а потерянное число равно 1 + 2 + … + 14 − 101 = 105 − 101 = 4.
