Задача 5.
Хулиган Вася любит бегать по эскалатору в метро, причём вниз он бежит в два раза быстрее, чем вверх. Если эскалатор не работает, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 6 минут. Если эскалатор едет вниз, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 13,5 минут. Сколько секунд потребуется Васе, чтобы сбегать вверх и вниз по эскалатору, который будет ехать вверх? (Эскалатор всегда движется с постоянной скоростью.)
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 324 секунды.
Решение:
Обозначим длину эскалатора за 1, скорость Васи вниз по эскалатору за $x$, а скорость эскалатора за $y$ (скорости выражаются в длине эскалатора, делённой на минуту). По условию $\displaystyle 6 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x/2} = \frac{3}{x}$, откуда $\displaystyle x = \frac{1}{2}$.
Из условия также следует, что $\displaystyle \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x/2 − y}$ = 13,5. Подставив в это равенство $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ и домножив его на произведение знаменателей, получим:
$\displaystyle \frac{1}{4} − y + \frac{1}{2} + y = \frac{27}{2}\left(\frac{1}{2} + y\right)\left(\frac{1}{4} − y\right)$
Перенеся всё налево, получим квадратное уравнение:
$\displaystyle \frac{27}{2}y^2 + \frac{27}{8}y − \frac{15}{16} = 0$,
корнями которого являются числа $\displaystyle y_1 = \frac{1}{6}$ и $\displaystyle y_2 = − \frac{5}{12}$ (второй корень не подходит, т.к. скорость положительна).
Осталось вычислить значение выражения $\displaystyle \frac{1}{x − y} + \frac{1}{x/2 + y}$. Подставив в него $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ и $\displaystyle y = \frac{1}{6}$, получим 5,4 минуты. Переведя это в секунды, получим 5,4 ⋅ 60 = 324 секунды.
