Задача 7.
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?
Ответ на Задачу 7.
Ответ: 21.
Решение:
Обозначим числа на одной карточке за 𝑎 и 𝑏, на другой — за 𝑐 и 𝑑, на третьей — за 𝑒 и 𝑓, на четвёртой — за 𝑔 и ℎ. По условию сумма 16 слагаемых вида 𝑎𝑐𝑒𝑔 + 𝑎𝑐𝑒ℎ + … + 𝑏𝑑𝑓ℎ равна 330. Заметим, что эта же сумма получается при раскрытии всех скобок в выражении (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑)(𝑒 + 𝑓)(𝑔 + ℎ).
Следовательно, (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑)(𝑒 + 𝑓)(𝑔 + ℎ) = 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11. Поскольку все числа являются натуральными, каждая из скобок больше 1. Значит, скобки равны числам 2, 3, 5, 11 в некотором порядке. Тогда их сумма равна:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 + ℎ = 2 + 3 + 5 + 11 = 21.
