Задача 8.
В роще растут деревья четырёх видов: берёзы, ели, сосны и осины. Всего 100 деревьев. Известно, что среди любых 85 деревьев найдутся деревья всех четырёх видов. Среди какого наименьшего количества любых деревьев в этой роще обязательно найдутся деревья хотя бы трёх видов?
Ответ на Задачу 8.
Ответ: 69.
Решение:
Предположим, в роще не более 15 берёз. Тогда остальных деревьев хотя бы 85, а по условию задачи среди них должны найтись деревья всех четырёх видов. Противоречие. Значит, в роще хотя бы 16 берёз. Аналогично получаем, что деревьев каждого вида хотя бы 16.
Докажем, что среди любых 69 деревьев обязательно найдутся три различных дерева. Предположим, что это не так, и среди каких-то 69 деревьев оказались только два разных вида. Тогда среди оставшихся 31 дерева встречаются все деревья каких-то двух оставшихся видов, но, как было доказано ранее, каждый вид представлен хотя бы 16 деревьями. Противоречие.
Теперь приведём пример, когда среди некоторых 68 деревьев встречается не более двух видов (т.е. 68 деревьев может «не хватить»). Пусть в роще растут 34 берёзы, 34 ели, 16 сосен и 16 осин. Из предыдущих рассуждений мы понимаем, что среди любых 85 деревьев найдутся деревья всех четырёх видов (т.к. среди отсутствующих 15 деревьев не может содержаться какой-то вид целиком). При этом, если взять все берёзы и ели, суммарно 68 деревьев, то среди них не будет деревьев трёх видов.
