Задача 2.
В соревновании по бегу участвовали пять спортсменов: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸. Было сделано два прогноза, в каком порядке они финишируют.
- Первый прогноз: 𝐴 — первый, 𝐵 — второй, 𝐶 — третий, 𝐷 — четвёртый, 𝐸 — пятый.
- Второй прогноз: 𝐶 — первый, 𝐸 — второй, 𝐴 — третий, 𝐵 — четвёртый, 𝐷 — пятый.
Оказалось, что первом прогнозе было верно предсказано ровно про троих спортсменов, а во втором — ровно про двоих. Кто какое место занял в забеге?
Ответ на Задачу 2.
Ответ: 𝐶 — первый, 𝐵 — второй, 𝐴 — третий, 𝐷 — четвёртый, 𝐸 — пятый.
Решение 1:
В первом прогнозе верно предсказано ровно про троих спортсменов, т.е. неверно предсказано про двоих. Значит, места, на которых эти двое финишировали, надо поменять друг с другом.
Также во втором прогнозе про каждого из пяти спортсменов предсказано не то же место, что и в первом прогнозе. Следовательно, про верно предсказанных троих спортсменов в первом прогнозе предсказано неверно во втором прогнозе. Тогда, поскольку во втором прогнозе верно предсказано про двоих, ими должны быть в точности те двое, про которых неверно предсказано в первом прогнозе.
Начнём перебирать, у каких спортсменов в первом прогнозе надо поменять места друг с другом. Во втором прогнозе у этих же двоих места должны совпасть с поменянными местами в первом.
Если это спортсмены 𝐴 и 𝐵, то, поменяв их места, получим, что во втором прогнозе 𝐴 должен быть вторым, а 𝐵 — первым. Но это не так.
Если это спортсмены 𝐴 и 𝐶, то, поменяв их места, убедимся, что во втором прогнозе 𝐴 является третьим, а 𝐶 — вторым. Тогда места троих остальных спортсменов 𝐵, 𝐷, 𝐸 верно предсказаны в первом прогнозе: 𝐵 — второй, 𝐷 — четвёртый, 𝐸 — пятый. Этот вариант удовлетворяет условиям задачи.
Если это спортсмены 𝐴 и 𝐷, то, поменяв их места, получим, что во втором прогнозе 𝐴 должен быть четвёртым, а 𝐷 — первым. Но это не так.
Аналогично перебирая остальные возможные пары 𝐴 и 𝐸, 𝐵 и 𝐶, 𝐵 и 𝐷, 𝐵 и 𝐸, 𝐶 и 𝐷, 𝐶 и 𝐸, 𝐷 и 𝐸, несложно убедиться в том, что 𝐴 и 𝐶 — единственно возможная пара, про которую неверно предсказано в первом прогнозе.
Решение 2:
Отметим, что для каждого спортсмена прогнозы дают разные результаты, то есть в оба в сумме они могли угадать не более одного раза. Так как про всех пятерых прогнозы в сумме угадали пять раз, то про каждого спортсмена они угадали ровно по одному разу. Кроме того, это означает, что про каждое место прогнозы также угадали ровно по одному разу.
Значит, если бы первый прогноз угадал про первое место 𝐴, то второй бы не угадал про 𝐶 (так как его прочили на первое место); тогда первый бы угадал про 𝐶.
Аналогично, если бы первый угадал про 𝐵, то первый угадал бы про 𝐸 и, аналогично, про 𝐷.
Рассуждая так и далее, становится ясно, что про 𝐴 и 𝐶 первый прогноз одновременно угадал про обоих или не угадал ни про одного; аналогично с 𝐵, 𝐸 и 𝐷. Так как всего первый прогноз угадал про троих спортсменов, то про 𝐵, 𝐷 и 𝐸 он угадал, а про 𝐴 и 𝐶 — нет. Со вторым прогнозом, соответственно, всё наоборот.
