Задача 8.
У Карлсона и Малыша есть несколько банок варенья, каждая весит целое число фунтов. Суммарный вес всех банок варенья Карлсона в 13 раз больше суммарного веса всех банок Малыша. Карлсон отдал Малышу банку с наименьшим весом (из тех, что были у него), после чего суммарный вес его банок оказался в 8 раз больше суммарного веса банок Малыша. Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Карлсона?
Ответ на Задачу 8.
Ответ: 23 банки.
Решение:
Все переменные в решении будут натуральными числами, поскольку веса всех банок по условию являются целыми числами.
Пусть у Малыша изначально было суммарно 𝑛 фунтов варенья, тогда у Карлсона было 13𝑛 фунтов варенья. Пусть Карлсон отдал свою наименьшую банку с 𝑎 фунтами варенья. Тогда по условию 13𝑛 − 𝑎 = 8(𝑛 + 𝑎), т.е. 5𝑛 = 9𝑎. Значит, 9𝑎 делится на 5, но тогда 𝑎 делится на 5, т.е. 𝑎 = 5𝑘 для некоторого 𝑘. Тогда 5𝑛 = 9 ⋅ 5𝑘, и 𝑛 = 9𝑘. Следовательно, изначально у Карлсона было несколько банок, в которых суммарно было 13 ⋅ 9𝑘 = 117𝑘 фунтов варенья, причём наименьшая банка весит 5𝑘 фунтов. Но тогда банок у Карлсона не больше $\frac{117𝑘}{5𝑘}$= 23,4. Следовательно, их не больше 23.
23 банки у Карлсона быть могло. Пусть, например, у него была 1 банка весом 7 фунтов и 22 банки весом по 5 фунтов, а у Малыша 1 банка весом 9 фунтов. Тогда все условия выполняются: 117 = 13 ⋅ 9 и 117 − 5 = 8 ⋅ (9 + 5).
