Задача 5.
На бал пришли дамы и джентльмены — всего меньше 50 человек. Во время первого танца лишь четверть дам не были приглашены на танец, и 2/7 от общего количество джентльменов никого не пригласили. Сколько человек пришло на бал? (Для танца некоторый джентльмен приглашает некоторую даму.)
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 41 человек.
Решение:
Обозначим количество дам за 𝑛, а количество джентльменов за 𝑚. Посчитаем количество пар, которые танцевали. С одной стороны, оно равно $\displaystyle \frac{3}{4}$𝑛, с другой стороны — $\displaystyle \frac{5}{7}$𝑚. Приравнивая, находим отношение:
$\displaystyle \frac{𝑛}{𝑚} = \frac{20}{21}$
Поскольку дробь в правой части является несократимой, получаем, что 𝑛 = 20𝑘 и 𝑚 = 21𝑘 для некоторого натурального 𝑘. Осталось заметить, что общее количество людей 20𝑘 + 21𝑘 = 41𝑘 по условию меньше 50, поэтому подходит только 𝑘 = 1, а общее количество людей на балу равно 20 + 21 = 41.
