Ответ на задачу: Про три действительных числа p, q и r известно, что: p + q + r = 5,quadfrac{1}{p + q} + frac{1}{q + r} + frac{1}{p + r} = 9.Чему равняется выражение: frac{r}{p + q} + frac{p}{q + r} + frac{q}{p + r}?

<< к заданиям

Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2020 год, 2 этап

дата проведения: 21 октября 2020 - 23 октября 2020

источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/

Задача 7.

Про три действительных числа $p$ , $q$ и $r$ известно, что:

$p + q + r = 5, \frac{1}{p + q} + \frac{1}{q + r} + \frac{1}{p + r} = 9.$

Чему равняется выражение:

$\frac{r}{p + q} + \frac{p}{q + r} + \frac{q}{p + r}$ ?

Ответ на Задачу 7.

Ответ: 42.

Решение:

Перемножим два данных равенства, получим:

$5 \cdot 9 = \frac{p + q + r}{p + q} + \frac{p + q + r}{q + r} + \frac{p + q + r}{p + r} = (1 + \frac{r}{p + q}) + (1 + \frac{p}{q + r}) + (1 + \frac{q}{p + r})$

Вычтем из обеих частей равенства 3, получим:

$\frac{r}{p + q} + \frac{p}{q + r} + \frac{q}{p + r} = 42$