Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2020 год, 2 этап
дата проведения: 21 октября 2020 - 23 октября 2020
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 7.
Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что:
$\displaystyle p + q + r = 5,\quad\frac{1}{p + q} + \frac{1}{q + r} + \frac{1}{p + r} = 9.$
Чему равняется выражение:
$\displaystyle \frac{r}{p + q} + \frac{p}{q + r} + \frac{q}{p + r}$?
Ответ на Задачу 7.
Ответ: 42.
Решение:
Перемножим два данных равенства, получим:
$\displaystyle 5⋅9 = \frac{p + q + r}{p + q} + \frac{p + q + r}{q + r} + \frac{p + q + r}{p + r} = \left(1 + \frac{r}{p + q}\right) + \left(1 + \frac{p}{q + r}\right) + \left(1 + \frac{q}{p + r}\right)$
Вычтем из обеих частей равенства 3, получим:
$\displaystyle \frac{r}{p + q} + \frac{p}{q + r} + \frac{q}{p + r} = 42$
