Задача 8.
Маша выписала на доску в порядке возрастания все натуральные делители некоторого числа 𝑁 (самый первый выписанный делитель — 1, самый большой выписанный делитель — само число 𝑁). Оказалось, что третий с конца делитель в 21 раз больше второго с начала. Какое наибольшее значение может принимать 𝑁?
Ответ на Задачу 8.
Ответ: 441.
Решение:
Второй делитель с начала – это наименьший простой делитель числа $N$, обозначим его $p$. Третий делитель с начала — это либо $p^2$, либо второй по величине простой делитель числа $N$, обозначим его $q$.
Случай 1. Третий делитель с начала — это $p^2$. Тогда третий делитель с конца — это $\displaystyle \frac{N}{p^2}$. По условию задачи:
$\displaystyle \frac{N}{p^2} = 21p$
$N = 21p^3$
Видно, что 3 и 7 — делители числа $N$, поэтому $p$ ≤ 3. Если $p$ = 2, то третий по величине делитель числа $N$ равен 3; если же $p$ = 3, то третий по величине делитель числа $N$ не больше 7, т.е. не 32. Противоречие.
Случай 2. Третий делитель с начала – это $q$. Тогда третий делитель с конца – это $\displaystyle \frac{N}{q}$. По условию задачи:
$\displaystyle \frac{N}{q} = 21p$
$N = 21pq$
Видно, что 3 и 7 — делители числа $N$, поэтому $p$ ≤ 3, $q$ ≤ 7. Отсюда получаем, что $N$ ≤ 441. Несложно проверить, что это число удовлетворяет условию.
