Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2020 год
дата проведения: 21 октября 2020 - 23 октября 2020
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 3.
К 30 пальмам в разных частях необитаемого острова прибито по табличке.
- На 15 из них написано: «Ровно под 15 табличками зарыт клад».
- На 8 из них написано: «Ровно под 8 табличками зарыт клад».
- На 4 из них написано: «Ровно под 4 табличками зарыт клад».
- На 3 из них написано: «Ровно под 3 табличками зарыт клад».
Известно, что правдивы только те таблички, под которыми клада нет. Под каким наименьшим количеством табличек может быть зарыт клад?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 15.
Решение:
Предположим, клад не зарыт хотя бы под 16 табличками. Тогда есть две таблички с различными надписями, под которыми клада нет. По условию записи на них обе должны быть правдивы, но они противоречат друг другу. Противоречие.
Значит, клад не зарыт максимум под 15 табличками. Таким образом, табличек, под которыми есть клад, хотя бы 15. Подходящий пример придумать несложно: пусть клады будут зарыты только под табличками, на которых написана одна из трёх следующих фраз:
- «Ровно под 8 табличками зарыт клад».
- «Ровно под 4 табличками зарыт клад».
- «Ровно под 3 табличками зарыт клад».
