Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2020 год
дата проведения: 21 октября 2020 - 23 октября 2020
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 5.
У Буратино есть много монет по 5 и по 6 сольдо, каждого вида более 10 монет. Придя в магазин и купив книгу за 𝑁 сольдо, он понял, что не сможет за неё рассчитаться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное 𝑁, если оно не больше 50?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 19.
Решение:
Легко проверить, что при 𝑁 = 19 сдача необходима.
Заметим, что числа от 20 до 24 не подходят под условие, ведь за них можно было бы рассчитаться без сдачи:
𝑁 = 20 = 4 ⋅ 5,
𝑁 = 21 = 3 ⋅ 5 + 6,
𝑁 = 22 = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6,
𝑁 = 23 = 5 + 3 ⋅ 6,
𝑁 = 24 = 4 ⋅ 6.
Ясно, что тогда и числа от 25 до 50 не подходят под условие, ведь каждое из них является суммой одного или нескольких слагаемых, равных 5, а также числа от 20 до 24, являющегося суммой слагаемых, каждое из которых равно 5 и 6.
