Ответ: 5.

Решение 1:

Из условия следует, что ${\displaystyle \frac{1}{6}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le \frac{2}{b}}$, откуда $b$ ≤ 12. Также ${\displaystyle \frac{1}{6}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{1}{b}}$, поэтому $b$ > 6. Значит, $b$ может принимать значения от 7 до 12 включительно.

Используя ${\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{1}{6}-\frac{1}{b}=\frac{b-6}{6b}}$, получаем:

${\displaystyle a=\frac{6b}{b-6}=6+\frac{36}{b-6}}$

Подставим возможные значения $b$ и проверим, будет ли натуральным число $a$.

Если $b$ = 7, то $a=6+\frac{36}{7-6}=42$ — подходит.

Если $b$ = 8, то $a=6+\frac{36}{8-6}=24$ — подходит.

Если $b$ = 9, то $a=6+\frac{36}{9-6}=18$ — подходит.

Если $b$ = 10, то $a=6+\frac{36}{10-6}=15$ — подходит.

Если $b$ = 11, то $a=6+\frac{36}{11-6}=6+\frac{36}{5}$ — не целое, не подходит.

Если $b$ = 12, то $a=6+\frac{36}{12-6}=12$ — подходит.

Легко понять, что все 5 пар $(42,7)$, $(24,8)$, $(18,9)$, $(15,10)$, $(12,12)$ являются решениями исходного уравнения.

Решение 2:

Домножив уравнение на знаменатели ($a$ и $b$ – натуральные, поэтому на них можно умножать и делить), получим:

$6a+6b=ab$

Это уравнение нетрудно преобразовать в следующее:

$(a-6)(b-6)=36$

Отсюда ясно, что числа $a-6$ и $b-6$ должны быть делителями 36, причём натуральными, так как если бы они были целыми отрицательными, то меньшее из них оказалось бы не больше −6, что невозможно.

Первый сомножитель по условию не меньше второго. Перебрав возможные разложения

$(a-6)(b-6)=36\cdot 1=18\cdot 2=12\cdot 3=9\cdot 4=6\cdot 6$

получим те же 5 решений.