Ответ: 5.

Решение 1:

Из условия следует, что $\displaystyle \frac{1}{6} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}≤\frac{2}{b}$, откуда $b$ ≤ 12. Также $\displaystyle \frac{1}{6} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}>\frac{1}{b}$, поэтому $b$ > 6. Значит, $b$ может принимать значения от 7 до 12 включительно.

Используя $\displaystyle \frac{1}{a} = \frac{1}{6} − \frac{1}{b} = \frac{b − 6}{6b}$, получаем:

$\displaystyle a = \frac{6b}{b − 6} = 6 + \frac{36}{b − 6}$

Подставим возможные значения $b$ и проверим, будет ли натуральным число $a$.

Если $b$ = 7, то $a = 6 + \frac{36}{7 − 6} = 42$ — подходит.

Если $b$ = 8, то $a = 6 + \frac{36}{8 − 6} = 24$ — подходит.

Если $b$ = 9, то $a = 6 + \frac{36}{9 − 6} = 18$ — подходит.

Если $b$ = 10, то $a = 6 + \frac{36}{10 − 6} = 15$ — подходит.

Если $b$ = 11, то $a = 6 + \frac{36}{11 − 6} = 6 + \frac{36}{5}$ — не целое, не подходит.

Если $b$ = 12, то $a = 6 + \frac{36}{12 − 6} = 12$ — подходит.

Легко понять, что все 5 пар $(42,7)$, $(24,8)$, $(18,9)$, $(15,10)$, $(12,12)$ являются решениями исходного уравнения.

Решение 2:

Домножив уравнение на знаменатели ($a$ и $b$ – натуральные, поэтому на них можно умножать и делить), получим:

$6a + 6b = ab$

Это уравнение нетрудно преобразовать в следующее:

$(a − 6)(b − 6) = 36$

Отсюда ясно, что числа $a − 6$ и $b − 6$ должны быть делителями 36, причём натуральными, так как если бы они были целыми отрицательными, то меньшее из них оказалось бы не больше −6, что невозможно.

Первый сомножитель по условию не меньше второго. Перебрав возможные разложения

$(a − 6)(b − 6) = 36⋅1 = 18⋅2 = 12⋅3 = 9⋅4 = 6⋅6$

получим те же 5 решений.