Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2022 год
дата проведения: 19 октября 2022 - 21 октября 2022
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 4.
В ряду чисел:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …, 201, 201, …, 201
каждое число 𝑛 встречается ровно 𝑛 раз для всех 1 ⩽ 𝑛 ⩽ 201. Выберем в этом ряду такое число, слева и справа от которого чисел поровну. Определите это число.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 142.
Решение:
Всего чисел в ряду 1 + 2 + 3 + … + 201 = (201 ⋅ 202) / 2 = 20301, поэтому число, слева и справа от которого чисел поровну, стоит на 10151-й позиции. Следовательно, необходимо найти такое наименьшее 𝑛, для которого 1 + 2 + … + 𝑛 ⩾ 10151.
Итак, 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) / 2 ⩾ 10151. При 𝑛 = 141 получаем 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) / 2 = 10011, а при 𝑛 = 142 получаем 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) / 2 = 10153. Следовательно, ответом в задаче является число 142.
