Ответ: 455.

Решение:

Заметим, что:

max(𝑎, 𝑏) ⩾ 𝑏 ⩾ min(𝑏, 24)

max(𝑐, 12) ⩾ 𝑐 ⩾ min(𝑎, 𝑐)

Поскольку все числа натуральные, равенство в условии достигается только тогда, когда все неравенства обращаются в равенства: max(𝑎, 𝑏) = 𝑏 = min(𝑏, 24) и max(𝑐, 12) = 𝑐 = min(𝑎, 𝑐). Это равносильно тому, что

12 ⩽ 𝑐 ⩽ 𝑎 ⩽ 𝑏 ⩽ 24

Значит, в реальности нужно найти количество упорядоченных троек натуральных чисел в отрезке [12; 24] (кстати, он содержит всего 13 натуральных чисел). По набору чисел, лежащих в этом отрезке, однозначно восстанавливается, чему равны 𝑎, 𝑏, 𝑐 (ведь 𝑐 ⩽ 𝑎 ⩽ 𝑏). Какие бывают варианты?

1. Все три числа разные. Количество способов выбрать 3 различных числа из 13 равно 𝐶³₁₃ = 286.
2. Какие-то два числа совпадают. Количество способов выбрать 2 различных числа равно 𝐶²₁₃ = 78. При этом нужно ещё установить, какое именно из этих чисел встречается дважды, поэтому количество способов в этом случае равно 78 ⋅ 2 = 156.
3. Все три числа совпадают. Количество способов в этом случае — 13. Итак, общее количество способов равно 286 + 156 + 13 = 455.