Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2022 год, 1 вариант
дата проведения: 19 октября 2022 - 21 октября 2022
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 8.
В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A»:
- девочка Таня дружит с 12 мальчиками;
- девочка Даша дружит с 12 мальчиками;
- девочка Катя дружит с 13 мальчиками;
- у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков.
Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.
Ответ на Задачу 8.
Ответ: 13, 14.
Решение:
Из условия следует, что мальчиков в классе хотя бы 13. Если бы их было хотя бы 15, то среди них можно было бы выбрать троих, которые не дружат с Таней. Но тогда у Тани среди них не нашлось бы друга, противоречие. Значит, всего мальчиков 13 или 14. Приведём соответствующие примеры.
- Пусть в классе всего 3 девочки (Таня, Даша, Катя) и 13 мальчиков. Среди них есть мальчик Андрей, который не дружит только с Таней, а также мальчик Боря, который не дружит только с Дашей (все остальные пары людей в классе дружат). Легко видеть, что все условия задачи выполняются.
- Пусть в классе всего 3 девочки (Таня, Даша, Катя) и 14 мальчиков. Среди них есть мальчики Влад и Денис, которые не дружат только с Таней, мальчики Женя и Кирилл, которые не дружат только с Дашей, а также мальчик Лёня, который не дружит только с Катей (все остальные пары людей в классе дружат). Легко видеть, что все условия задачи выполняются.
