Задача 4.
Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 встречается ровно один раз.
- У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
- У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: а) 6. б) 15.
Решение:
а) Из условия следует, что шестая цифра — самая большая, поэтому она равна 7. В качестве последней цифры можно выбрать любую цифру от 1 до 6, и это однозначно определит всё число (ведь первые пять цифр должны быть упорядочены по возрастанию). Значит, таких семизначных чисел ровно 6.
б) Из условия следует, что пятая цифра — самая большая, поэтому она равна 7. В качестве двух последних цифр можно выбрать две различные цифры от 1 до 6, и это однозначно определит всё число (ведь первые четыре цифры должны быть упорядочены по возрастанию). Также шестая цифра должна быть больше седьмой, поэтому возможных пар последних цифр ровно 15:
65, 64, 63, 62, 61, 54, 53, 52, 51, 43, 42, 41, 32, 31, 21
Соответственно, искомых семизначных чисел тоже 15.
Замечание: Количество пар в пункте б) равно количеству способов выбрать две цифры из множества из 6 цифр, то есть C26 = 6 ⋅ 5 / 2 = 15.
